Слово «функція» зазвичай зʼявляється в підручнику разом із записом y = f(x), і через це багатьом учням і ученицям здається, що за ним стоїть щось складне й відірване від життя, хоча насправді ми стикаємося з функціями щодня, просто не помічаємо цього, бо ніхто не називає їх так уголос.
1Що таке залежність?
Увесь наш світ побудований на залежностях.
Наприклад, те, наскільки швидко розрядиться телефон, залежить від яскравості екрана. Змінюється одне — змінюється й інше. Деякі залежності прості, деякі складніші, але зустрічаються вони дуже часто.
Наприклад, коли ви заходите в ліфт і натискаєте кнопку «5», ви не замислюєтеся над тим, куди він поїде, бо знаєте напевно, що двері відчиняться саме на пʼятому поверсі. Одна кнопка завжди веде на один і той самий поверх, і саме тому ліфтом зручно користуватися.
А тепер уявіть ліфт, який при натисканні на ту саму кнопку «5» іноді привозить на пʼятий поверх, а іноді на третій чи восьмий. Їздити в такому ліфті було б неможливо, бо ми не змогли б передбачити, де опинимося.
Спробуйте натиснути ту саму кнопку кілька разів і подивіться, що відбувається.
Цікавий фактЗ розвитком людства саме навичка шукати строгі закономірності та передбачати події допомагала нам виживати. Такий стан непередбачуваності, як у зламаному ліфті, еволюційно дуже неприємний для мозку.
Тому математика лише допомагає нам описати залежності, які мозок і так прагне шукати.
То що ж таке функція?
Функція — це один із типів залежностей, який кожному обраному нами числу ставить у відповідність рівно один результат за обраним правилом.
Ні більше, ні менше — строго один.Математика, як і наш мозок, не любить таких сюрпризів.
2То що ж це за правило?
Будь-яку функцію зручно уявляти як «машину», у яку ми «кладемо» число. «Машина» щось із ним робить за своїм правилом і видає нове число.
Важливо, що правило не змінюється: якщо «покласти» в «машину» те саме число вдруге — вона видасть ту саму відповідь.
Тепер спробуйте навпаки: уявімо, що правило «сховане» всередині цієї «машини», і ми бачимо лише, яку відповідь отримали з двох різних чисел. Спробуйте визначити, за яким правилом були обчислені ці значення.
Як записати правило мовою математики
Давайте спробуємо записати цю залежність (правило) так, як це зазвичай роблять у математиці. Зараз ми могли б записати її таким чином:
Щоб отримати відповідь, обране число потрібно помножити на 2 і додати до нього 3.
У чому проблема такого запису? По-перше, він занадто довгий. По-друге, він використовує українські слова і назви, тож якщо ми захочемо показати наше правило комусь з інших країн, його доведеться перекладати. Щоб математика розвивалася швидше і була універсальною, люди використовують для запису змінні і знаки.
Що ж це таке — змінні?
Зазвичай це літери латинського алфавіту, якими ми замінюємо довгі назви на кшталт «обране число». Це можуть бути літери x, y, a, b, c або інші, і головна їх мета — коротше позначити ті самі речі, з якими ми стикаємося і у звичайному житті.
Отже, спробуємо позначити «обране число» змінною x у нашому правилі, а відповідь — змінною y. Тоді отримаємо:
Для того, щоб використати це правило для будь-якого обраного нами числа, ми лише маємо замінити змінну x на це число і виконати обчислення так, як робили раніше.
3Спробуємо ще раз!
Візьмімо свічку висотою 24 см, яка за кожну годину горіння стає коротшою на 2 см. Поки що ми не будемо нічого записувати, а просто поспостерігаємо, як змінюється її висота:
| Години | Висота | |
|---|---|---|
| 0 | 24 см |
Якщо ми запишемо перші кілька годин і довжину свічки після стількох годин горіння у таблицю, яку ви бачите вище, ми побачимо закономірність: щоразу, коли минає година, від висоти віднімається одне й те саме число — 2.
Щоб не рахувати висоту свічки кожної години по черзі, ми можемо використати дію множення. Наприклад, якщо свічка горіла 3 години, ми маємо відняти від її висоти 2 см 3 рази:
виконувалася дія·3рази
Тоді частина свічки, що вже згоріла, може бути порахована так:
Відповідно, щоб отримати залишок висоти свічки, ми маємо від початкової висоти відняти довжину тієї частини, що вже згоріла. Тобто:
Якщо нас цікавить, яка довжина свічки залишиться через 3 години, ми застосовуємо це правило так:
А якщо нас цікавить, яка довжина свічки залишиться через 5 годин, ми застосовуємо це правило так:
Тепер спробуємо записати це правило, використовуючи змінні:
Якщо позначити кількість годин літерою x, а висоту свічки літерою y, ми отримаємо коротший запис:
Це і є функція: ми обираємо x, а y обчислюється за правилом, і для кожного x він завжди один.
Подивіться на ще один спосіб показати залежність — графік.
Коли ви рухаєте повзунок, на графіку з точок складається пряма, яка рівномірно спускається вниз. Ці точки спеціально поставлені так, щоб значення x і y (тобто кількість пройдених годин і висота свічки в цей момент) були їхніми координатами, і їх можна було зчитати з рисунка.
У деяких випадках це зручніший спосіб, ніж формула чи таблиця, бо ми чітко бачимо поведінку функції. Наприклад, коли значення x збільшується, значення y зменшується.
Тобто що більше часу минає, то меншою стає висота свічки.
Висота свічки зменшується на 2 см кожну годину. Отже, нам потрібно, щоб значення виразу 24 − 2 · x дорівнювало 0. Для цього довжина частини, яка згоріла, має бути такою самою, як висота свічки на початку експерименту.
Перевіримо, чи так буде через 8 годин, — підставимо x = 8:
Ми отримали 8 см, а не 0. Отже, через 8 годин свічка ще горить: згоріла лише частина довжиною 16 см, а нам потрібно, щоб згоріли всі 24 см.
Висота свічки зменшується на 2 см кожну годину. Отже, нам потрібно, щоб значення виразу 24 − 2 · x дорівнювало 0. Для цього довжина частини, яка згоріла, має бути такою самою, як висота свічки на початку експерименту.
Скільки годин має пройти, щоб згоріло 24 см?
кожної години·xкількість годин —
скільки разів це
відбувається=24см
Щоб знайти невідомий множник, використовуємо обернену дію — ділення:
Через 12 годин свічка догорить повністю. Саме в точці (12; 0) пряма на графіку торкається осі x.
Висота свічки зменшується на 2 см кожну годину. Отже, нам потрібно, щоб значення виразу 24 − 2 · x дорівнювало 0. Для цього довжина частини, яка згоріла, має бути такою самою, як висота свічки на початку експерименту.
Перевіримо, чи так буде через 24 години, — підставимо x = 24:
Ми отримали від'ємне число, а висота свічки не може бути меншою за 0. Отже, за 24 години «згоріло б» удвічі більше, ніж є у свічки, тобто вона догорить значно раніше. Цей варіант зазвичай виникає, коли плутають висоту свічки (24 см) з кількістю годин.
4Перевір себе
У цій формулі числа помінялися місцями: 3 стоїть на місці початкової висоти, а 30 — на місці того, що згоряє щогодини. Перевіримо, підставивши кілька значень x:
Але на початку свічка має висоту 30 см, а не 3, і висота не може бути від'ємною. Число, яке не залежить від x, — це висота на старті, тому першим у формулі має стояти 30.
Початкову висоту записано правильно, але подивімося, що відбувається далі:
За такою формулою свічка щогодини росте на 3 см, а вона має коротшати. Коли величина зменшується, те, що змінюється щогодини, потрібно віднімати, тому перед 3x має стояти мінус.
Коли стає зрозуміло, що функція — це просто правило, яке на кожне вхідне значення дає одну відповідь, формули з підручника перестають виглядати набором символів, і за кожною з них можна побачити звичайну ситуацію, наприклад ліфт чи свічку, і пояснити її своїми словами.